Cramerin sääntö ja sen soveltaminen

Cramerin sääntö - on yksi tarkka menetelmiä ongelmien lineaarisia algebrallisia yhtälöitä (Slough). Sen tarkkuus johtuen käytön määräävät järjestelmän matriisi, sekä jotkin asetetut rajoitukset todiste lause.

Järjestelmä lineaarinen algebrallisia yhtälöitä kertoimilla kuuluvat, esimerkiksi, useita R - todellinen määrä tuntemattomia x1, x2, ..., xn on kokoelma ilmaisuja

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi i = 1, 2, ..., m, (1)

missä aij, bi - todelliset luvut. Kukin näistä ilmaisuja kutsutaan lineaarinen yhtälö, aij - kertoimet tuntemattomien, bi - riippumattomia kertoimia yhtälöt.

Liuosta, jossa oli (1) tarkoitetut n-ulotteinen vektori x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), jossa substituutio järjestelmään tuntemattomien x1, x2, ..., xn, kukin rivit järjestelmä on paras yhtälö .

Järjestelmä on nimeltään johdonmukainen, jos se on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaista, jos se on sama ratkaisu joukko tyhjä joukko.

On muistettava, että jotta löytää ratkaisuja lineaarisia yhtälöitä käyttäen menetelmää Cramer, matriisi järjestelmien on neliö, joka tarkoittaa käytännössä sitä, sama määrä tuntemattomia ja yhtälöitä.

Joten, käyttää Cramerin menetelmällä, sinun täytyy ainakin tietää mitä Matrix on järjestelmä lineaarisen algebrallisia yhtälöitä ja se annetaan. Ja toiseksi, ymmärtää, mitä kutsutaan tekijä matriisin sekä oman osaamisensa laskenta.

Oletetaan, että tämä tieto teillä. Ihana! Sitten sinun täytyy vain muistaa kaavoja määritettäessä Kramer menetelmällä. Yksinkertaistaa tallennus Käyttäkää seuraavia tunnuksia:

• Det - tärkein määräävä matriisin järjestelmän;

• deti - on determinantti matriisin saatu ensisijainen matriisin järjestelmää korvaamalla i: nnen sarakkeen matriisin sarakkeen vektorille, jonka elementit ovat oikealta puolelta lineaarisen algebrallisia yhtälöitä;

• n - tuntemattomien lukumäärä ja yhtälöitä.

Sitten Cramerin sääntöä laskenta i: nnen komponentin xi (i = 1, .. n) n-ulotteinen vektori x voidaan kirjoittaa

xi = deti / Det, (2).

Tässä tapauksessa, Det tiukasti eroaa nollasta.

Ainutlaatuisuuden liuoksen järjestelmään, kun se on yhdessä antama epäyhtälö kunto ratkaisevasti järjestelmän nollaan. Muuten, jos summa (xi), neliö, tiukasti positiivinen, niin SLAE neliömatriisi on mahdotonta. Tämä voi tapahtua erityisesti silloin, kun ainakin yksi deti nollasta poikkeava.

Esimerkki 1. Ratkaista kolmiulotteinen LAU käyttävä Cramerin kaavalla.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Päätös. Me kirjoittaa matriisin järjestelmän rivi riviltä, jossa Ai - on i: nnen rivin matriisin.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Sarake free-kertoimet b = (31 päivänä lokakuuta 29).

Pääjärjestelmän on määräävä Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1-20 + 12-12 + 2-10 = -27.

Laskea permutaatiota DET1 käyttäen a11 = B1, A21 = b2, A31 = b3. sitten
DET1 = B1 a22 a33 + a12 a23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - B1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Samoin, laskea det2 käyttö vaihdosta a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, ja näin ollen laskea det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Sitten voit tarkistaa, että det2 = -108, ja det3 = - 135.
Kaavojen mukaisesti Cramer löytää x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Vastaus: x ° = (3,4,5).

Vedoten sovellettavuus Tämän säännön mukainen menetelmä Kramer ratkaista lineaarisia yhtälöitä voidaan käyttää epäsuorasti, esimerkiksi, tutkimaan järjestelmän mahdollisesta useita ratkaisuja riippuen parametrin arvon k.

Esimerkki 2. Sen määrittämiseksi, mitä arvoja parametrin k epäyhtälö | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

Päätös.
Tämän epätasa, määritelmän moduulin toiminto voidaan suorittaa vain, jos molemmat lausekkeet ovat nolla samanaikaisesti. Näin ollen, tämä ongelma pienenee, kun löytää ratkaisu lineaarinen algebrallisia yhtälöitä

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Ratkaisu tähän järjestelmään vain, jos se on tärkein tekijä on
Det = k ^ {2} + 1 on nollasta poikkeava. On selvää, että tämä ehto täyttyy kaikkien todellisten arvojen parametrin k.

Vastaus: kaikkien todellisten arvojen parametrin k.

Tavoitteita tämäntyyppisen voidaan vähentää myös monia käytännön ongelmia alalla matematiikan, fysiikan tai kemian.