Yhtälö - mikä se on? Määritelmä, esimerkit

Vuoden koulun matematiikan, lapsen ensimmäinen kuulee termin "yhtälö". Mikä on se, yritä ymmärtää yhdessä. Tässä artikkelissa tarkastelemme tyyppiin ja ratkaisun.

Matematiikka. yhtälö

Aloittaa tarjoamalla käsitellä käsitteelle, mikä on? Kuten monissa oppikirjoissa matematiikan yhtälö - se joitakin ilmaisuja, joiden välillä kannattaa ehdottomasti allekirjoittaa yhdenvertaisuuden. Näissä kaavoissa on kirjaimia, ns muuttuja, jonka arvo on ja on löydettävä.

Mikä on muuttuja? Tämä järjestelmä määrite, joka muuttaa sen arvoa. Hyvä esimerkki muuttujat ovat:

• ilman lämpötila;
• lapsen kasvua;
• paino ja niin edelleen.

Matematiikassa ne kirjaimilla, kuten X, A, B, C ... Yleensä tehtävänä matematiikan on seuraava: löytää arvo yhtälön. Tämä tarkoittaa, että sinun täytyy löytää arvo näistä muuttujista.

laji

Yhtälö (eli me käsitellään edellisessä kappaleessa) voi olla seuraavassa muodossa:

• lineaarinen;
• neliöitä;
• kuutiometriä;
• algebralliset;
• transsendenttinen.

Saat lisätietoja kaikenlaisten, tutkia jokainen erikseen.

lineaarinen yhtälö

Tämä on ensimmäinen sellainen, joka tuntemaan koululaisille. Ne ratkaistaan melko nopeasti ja helposti. Siten, lineaarinen yhtälö, mitä se on? Tämä ilmaus muotoa: s = c. Joten ei ole kovin selkeä, joten annamme muutamia esimerkkejä: 2 = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Tarkastellaan esimerkkiä yhtälöt. Voit tehdä tämän meidän täytyy kerätä kaikki tunnetut tiedot ja toisaalta, tuntematon muille x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Siellä käytettiin alkeis sääntöjä matematiikan: a * C = e, tämä C = e / a; a = e / s. Jotta loppuun yhtälön, teemme yksi toiminto (tässä tapauksessa jako) x = 13; x = 8; x = 5. Nämä olivat esimerkkejä kertolasku nyt katsottavissa vähentämällä ja lisäämällä: x + 3 = 9; 5-10X = 15. Tunnettu data siirretään yhteen suuntaan: x = 9-3; x = 20/10. Teemme Viimeinen toiminta: x = 6; x = 2.

Myös variantit ovat mahdollisia, lineaariset yhtälöryhmät, jossa useampi kuin yksi muuttuja: 2x-2y = 4. Jotta voidaan ratkaista, on välttämätöntä lisätä kunkin osan 2v, saamme 2x-2y + 2y = 4-2u, kuten olemme nähneet, vasemmalla puolella yhtäläisyysmerkki ja -2u + 2y pienenee, joten meille jää: 2x = 4 -2u. Viimeinen vaihe jakavat kunkin osan kaksi, saamme vastauksen: X on kaksi miinus y.

Ongelmia yhtälöt löytyvät jopa Rhind Matemaattinen Papyrus. Se on yksi ongelmista: numero ja neljännen osan siis yhteensä 15. Tämän ongelman ratkaisemiseksi kirjoitetaan seuraavalla kaavalla: X plus neljäsosa X on viisitoista. Näemme toinen esimerkki yhtälönä kokonaisratkaisuja, saamme vastauksen: X = 12. Mutta tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla, nimittäin, Egyptin, tai kuten sitä kutsutaan eri tavalla, tapa spekulointia. Vuonna papyrus käytti seuraavaa ratkaisua: ottaa neljä ja neljäsosa siitä, että on yksi. Kaiken ne antavat viisi, viisitoista nyt jaettava summa, saamme kolme viimeistä kaavaillaan kolmen kerrottuna neljällä. Saamme vastauksen: 12. Miksi olemme tekemisissä viidentoista jaetaan viidellä? Joten saamme selville, kuinka monta kertaa viisitoista, eli jonka tuloksena meidän on saatava vähintään viisi. Tällä tavoin olemme ratkaisseet keskiajalla, tuli kutsua menetelmää väärien asentoon.

asteen yhtälön

Lisäksi aiemmin keskusteltu esimerkeissä, on muitakin. Mitkä? Asteen yhtälö, mikä se on? Ne ovat muotoa ax ² + bx + c = 0. Niiden ratkaisemiseksi, sinun täytyy tutustua joidenkin käsitteiden ja sääntöjä.

Ensinnäkin, sinun täytyy löytää erotteluanalyysi kaavalla: b ² -4ac. On kolme tapaa ratkaista lopputulos:

• diskriminantti on suurempi kuin nolla;
• pienempi kuin nolla;
• on nolla.

Ensimmäisessä versiossa voi saada vastauksen kaksi juuret, jotka ovat seuraavan kaavan mukaisesti: -B + juuren erotteluanalyysi jaettuna kaksi kertaa ensimmäinen kerroin, eli 2a.

Toisessa tapauksessa, juuret yhtälö siellä. Kolmas tapaus on juuri kaava: -b / 2a.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen yhtälön tarkemman tuttava: kolme X neliö miinus neljätoista X miinus viisi nolla. Aluksi, kuten edellä on kirjoitettu, etsii erotteluanalyysi, tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin 256. Huomaa, että tuloksena oleva määrä on suurempi kuin nolla, sen vuoksi, pitäisi saada vastaus, joka koostuu kahdesta juuret. Korvike saatiin erotteluanalyysi kaavassa löytää juuret. Tämän seurauksena meillä on: X on viisi ja miinus yksi kolmasosa.

Eritystilanteita asteen yhtälön

Nämä ovat esimerkkejä, joissa osa arvoista on nolla (a, b tai c), ja mahdollisesti enemmän.

Tarkastellaan esimerkiksi seuraava yhtälö, joka on neliö, kaksi X neliö on yhtä suuri kuin nolla, tässä näemme, että b ja c ovat yhtä kuin nolla. Yritetään ratkaista se, sillä molemmat osapuolet hajoita kaksi, meillä on: x ² = 0. Tämän seurauksena saamme x = 0.

Toinen tapaus on 16x ² = 0 -9. Tässä vain b = 0. Me ratkaista yhtälö, kerroin vapaan siirto oikealle puolelle: 16 x ² = 9, ovat nyt kukin osa on jaettu kuudentoista x ² = 9/16. Koska olemme x neliö, neliöjuuri 9/16 voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. Vastaus kirjoitetaan seuraavasti: X on yhtä kuin plus / miinus kolme neljäsosaa.

Mahdollista ja tämä vastaus, kuten juuret yhtälö ei. Katsokaamme seuraavan esimerkin: 5 x ² + 80 = 0, jossa b = 0. Jotta voidaan ratkaista vakiotermi leviää oikealle puolelle, kun nämä vaiheet, saamme: 5x ² = -80, ja nyt jokainen osa on jaettu viiteen: x ² = miinus kuusitoista. Jos jokin numero potenssiin, negatiivinen arvo saamme. Tällä vastauksemme on: klo juuret yhtälö siellä.

hajoaminen trinomia

mukaan asteen yhtälöt tehtävä voi kuulostaa toisella tavalla: hajottamaan asteen trinomia osaksi tekijöistä. Tämä voidaan tehdä käyttämällä seuraavaa kaavaa: a (x-x ₁₎ (x-x _2). Tämän, kuten muissakin viitaten suoritusmuodossa, on välttämätöntä löytää erotteluanalyysi.

Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: 3x ² -14h-5, hajota mnozheteli trinomia. Etsi erotteluanalyysi käyttäen jo tiedossa kaavaa, se on todettu olevan 256. Nyt huomata, että 256 on suurempi kuin nolla, siis yhtälö on kaksi juuret. Löytää ne, kuten edellisessä kappaleessa, meillä on: x = miinus viisi ja yksi kolmasosa. Käytä kaava hajoaminen trinomia on mnozheteli 3 (x-5) (x + 1/3). Toisessa kiinnikkeen meillä yhtäsuuruusmerkin, koska kaava on arvoltaan miinusmerkki, ja juuri, sekin on negatiivinen, käytetään perustiedot matematiikan, määrän meillä plusmerkki. Yksinkertaisuuden vuoksi kerrotaan ensimmäinen ja kolmas termi yhtälön päästä eroon jakeet: (x-5) (x + 1).

Yhtälöt pelkistyvät neliö

Tässä osiossa oppia ratkaisemaan monimutkaisempia yhtälöitä. Aloitamme välittömästi esimerkin:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Huomaamme eriä: (x ² - 2x), kätevä meille ratkaisuja korvata sen toisella muuttuja ja sitten ratkaista tavallisten asteen yhtälön, heti Huomatkaa, että tässä tehtävässä saamme neljä juuret, sen ei pitäisi pelotella teitä. toistoa muuttuva ja tarkoittavat. Saamme ² 2A-3 = 0. Seuraava askel - on löytää uusi erotteluanalyysi yhtälö. Saamme 16, löydämme kaksi juuret: miinus yksi ja kolme. Muistamme, että teimme korvaaminen, korvaava nämä arvot, minkä seurauksena olemme yhtälö: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Niiden ratkaiseminen ensimmäisellä vastaus: x on yksi, toinen: x on miinus yksi ja kolme. Kirjoita vastaus seuraavasti: plus / miinus yksi ja kolme. Yleensä vastaus on kirjoitettu nousevassa järjestyksessä.

kuutio-

Mietitäänpä toinen vaihtoehto. Kyse kuutiometriä yhtälöt. Ne ovat muotoa: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Esimerkkejä yhtälöt pidämme edelleen ja aluksi hieman teoriaa. Ne voivat olla kolme juuret, kuten on kaava löytää erotteluanalyysi kun yhtälön.

Tässä esimerkki: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Miten ratkaista se? Tehdä tämän, me vain ottaa suluissa x: x (3 + ² 4 + 2) = 0. Kaikki meidän täytyy tehdä - on laskea juuret yhtälö suluissa. Erotteluanalyysi toisen asteen yhtälö suluissa on pienempi kuin nolla, tämän perusteella, on juuri ilmaisu: x = 0.

Algebra. yhtälö

Siirry seuraavaan näky. Nyt käsittelen lyhyesti algebrallinen yhtälö. Yhtenä tehtävänä on seuraava: menetelmässä ryhmittymän levittäytyvät mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 x ² + 2 + 5. Kätevin menetelmä on seuraava ryhmä: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 x ² 5). Huomaa, että 8 x ² ensimmäisestä ilmaisu olemme esittäneet summana 3 ja ² 5x ^2. Nyt otamme pois kullakin tuista 3 yhteinen tekijä ² (x2 + 1) 2 + (x ² + 1) 5 ⁽² x + 1). Näemme, että meillä on yhteinen tekijä: X potenssiin plus yksi, jotta se pois suluissa: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5). Edelleen hajoaminen ei ole mahdollista, koska molemmat yhtälöt on negatiivinen diskriminantti.

transsendentaalinen yhtälöt

Tarjoavat käsitellä seuraavan tyyppiä. Tämä yhtälö, joka sisältää transsendentaalinen toimintoja, nimittäin, logaritminen, trigonometriset tai eksponentiaalinen. Esimerkkejä: 6sin ² x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 ja niin edelleen. Miten ne on ratkaistu, opit trigonometrian.

toiminto

Loppuvaiheessa käsitteen sisältö, yhtälö toiminto. Toisin kuin aiemmat versiot, tämäntyyppinen ei voida ratkaista, ja kuvaaja perustuu siihen. Tätä yhtälöä on myös syytä analysoida, löytää kaikki tarvittavat pisteet rakentamiseen, laskea suurin ja pienin pistettä.