Fourier-muunnos. Fast Fourier. Diskreetti Fourier-muunnos

Fourier-muunnos - muunnos, yhdistämällä tietyn toiminnon todellinen muuttuja. Tämä toiminto suoritetaan joka kerta näemme erilaisia ääniä. Korva tuottaa automaattisia "laskenta", jotka täyttävät tietoisuutemme voi vasta tarkastelun osan korkeamman matematiikan. kuulo elimeen ihmisen muutos rakentaa, jossa ääni (tavanomainen värähtelevän hiukkasten liike elastisen väliaineessa, joka levittää aallon muodossa kiinteässä, nestemäisessä tai kaasumaisessa väliaineessa) on alueella peräkkäisen arvon äänenvoimakkuutta ääniä erikorkuisia. Tämän jälkeen aivot kääntyy tiedot kaikki tutut ääni.

Matemaattinen Fourier

Muuntaminen ääniaaltoja tai muu tärinän prosesseja (valoemission ja valtameren vuorovesi ja tähtien tai auringon sykliä) voidaan suorittaa ja matemaattisten menetelmien avulla. Näin ollen, näitä menetelmiä käyttäen, toimintoja voidaan laajentaa ottamalla käyttöön värähtelevän prosesseissa on sinimuotoisia komponentteja, ts aaltoileva käyrät, jotka menevät minimistä maksimiin ja sitten taas minimiin, kuten meren aallon. Fourier-muunnos - muunnos toiminto, joka kuvaa vaihe tai amplitudi kunkin siniaallon vastaa tiettyä taajuutta. Vaihe on lähtökohta käyrän, ja amplitudi - sen korkeus.

Fourier-muunnos (esimerkit esitetään kuvassa) on erittäin tehokas työkalu, jota käytetään eri tieteenaloilla. Joissakin tapauksissa, sitä käytetään liuoksena melko monimutkaisia yhtälöitä, jotka kuvaavat dynaamisia prosesseja esiintyy vaikutuksen alaisena valon, lämmön tai sähköenergiaa. Muissa tapauksissa voit määritellä säännöllinen komponenttien monimutkaisia aaltomuotoja, koska tämä voi olla totta tulkita eri koehavainnot kemian, lääketieteen ja tähtitiede.

historiallista tietoa

Ensimmäinen henkilö tätä menetelmää oli ranskalainen matemaatikko Zhan Batist Fure. Muuntaminen, myöhemmin nimetty hänen, oli alun perin käytetty kuvaamaan lämmön johtuminen mekanismi. Fourier hänen koko aikuisiän harjoittavat tutkimalla lämmön ominaisuuksista. Hän teki valtavan panoksen matemaattinen teoria määrittämistä juuret algebrallinen yhtälöiden. Fourier oli professori analyysi École Polytechnique, sihteeri instituutin Egyptologia oli keisarillisen palvelu, joka aiheutti kohua aikaan rakentamisen tiellä Torino (hänen johdollaan valutettiin yli 80000 neliökilometriä malaria soiden). Kuitenkin kaikki tämä aktivismia ei estänyt tiedemies harjoittavat matemaattisen analyysin. Vuonna 1802 se oli peräisin yhtälö, joka kuvaa lisääminen lämmön kiintoaineiden. Vuonna 1807, tutkija keksineet ratkaista tämä yhtälö, joka tuli tunnetuksi "Fourier-muunnos".

lämmönjohtavuus analyysi

Tutkijat käyttivät matemaattinen menetelmä kuvaamaan lämmön johtuminen mekanismi. Sopiva esimerkki, jossa ei ole mitään vaikeuksia laskenta on eteneminen lämpöenergian rauta rengas, yksi osa upotetaan tulipalon. Suorittaa kokeet Fourier Red Hot osa rengasta ja hautaa hänet hienoa hiekkaa. Sen jälkeen lämpötila mittaukset suoritetaan vastakkaiseen osaan sen. Aluksi lämmön jakautuminen on epäsäännöllinen: osa rengasta - kylmä, ja muut - kuuma, vyöhykkeiden välillä, voidaan havaita teräviä lämpötilagradientti. Kuitenkin, aikana lämpöä jakautuminen metallin pintaan, siitä tulee tasaisempi. Niin pian, tämä prosessi on muodoltaan siniaallon. Ensimmäinen kaavio vähitellen kasvaa ja pienenee myös tasaisesti, tarkasti lakeja vaihtelua kosinin tai sinin. Aalto vähitellen tasoittuvat, ja sen seurauksena lämpötila nousee yhtenäinen koko pinnalle renkaan.

Tekijä tämän menetelmän oletetaan, että ensimmäisen jakelun on varsin epäsäännöllinen voidaan jakaa useita elementary siniaaltojen. Kukin niistä on sen vaihe (alkuasento) ja sen lämpötila. Siten kunkin aineosan muuttuu minimistä maksimiin ja takaisin loppuun kierrosta kehän ympäri kokonaisluku kertaa. Komponentti, jolla on jakso, joka oli nimeltään perusharmoninen, ja arvo, jossa on kaksi tai useampia aikoja - toinen ja niin edelleen. Esimerkiksi matemaattinen funktio, joka kuvaa maksimi lämpötila, vaiheen tai kanta kutsutaan Fourier-muunnos kertymäfunktio. Tutkija toi yksittäinen komponentti, joka on vaikea matemaattinen kuvaus, helppo käyttää työkaluja - riviä sini- ja kosini, määrän antaa ensimmäisen jakelun.

Ydin Analyysin

Soveltamalla tämän analyysin muuntaminen lämmön jakelun kiinteä esine, jolla on rengasmainen muoto, matemaatikko päättelivät, että entistä pidemmän sinimuotoisia komponentteja johtaa sen nopeaan vaimennus. Tämä näkyy selvästi tärkeimmistä ja toinen harmoninen. Lopullinen lämpötila saavuttaa kaksi kertaa maksimi- ja minimiarvot yhdessä työvaiheessa, ja ensimmäisen - vain kerran. On käynyt ilmi, että lämmön kulkema matka on toinen harmoninen on puoli, että ytimen. Lisäksi, gradientti toisen puoli on myös jyrkempi kuin ensimmäinen. Näin ollen, koska voimakkaampi lämpövuon kulkee leski minimaalinen etäisyys, niin tämä voidaan vaimentaa harmonisia neljä kertaa nopeammin kuin tärkein, koska ajan funktiona. Seuraavassa prosessissa on vieläkin nopeampi. Matemaatikko uskotaan, että tämä menetelmä antaa meille mahdollisuuden laskea prosessin ensimmäisen jakelun lämpötila ajan.

puhelun aikalaisensa

Fourier-algoritmi on tullut haaste teoreettisen perustan matematiikan tuolloin. Alussa yhdeksännentoista vuosisadan, näkyvin tutkijat, kuten Lagrange, Laplace, Poisson, Legendren ja Biot ei hyväksy hänen väitettä, että lämpötila ensimmäisen jakelun hajotetaan komponenttien muodossa perusaallon ja korkeampi taajuus. Kuitenkin tiedeakatemian voinut sivuuttaa saatuja tuloksia matemaatikko, ja myönsi hänelle palkinnon teorian lämmön johtuminen koskevien lakien sekä harjoittamaan verrattuna fyysiseen kokeiluja. Fourier lähestymistavassa, periaatteellinen ero on se, että epäjatkuva toiminto edustaa summa useita sinimuotoisia funktioita, jotka ovat jatkuvia. Sen jälkeen, kun kaikki, ne kuvaavat murtumisesta suorat ja kaarevat linjat. Nykyaikainen tutkija ei ollut koskaan kohdannut tällainen tilanne, kun epäjatkuvan kuvatut toiminnot yhdistelmä jatkuva, kuten neliömäinen, lineaarinen, sini tai näytteilleasettajan. Siinä tapauksessa, että matemaatikko oli oikein hänen väitteitä, summa ääretön sarja trigonometriset funktiot olisi rajoitettava tarkka nopeus. Vaikka tällainen vaatimus tuntui järjetön. Huolimatta epäilyjä joidenkin tutkijoiden (esim Claude Navierin, Sofi Zhermen) laajensi tutkimuksen ja veivät heidät ulos analyysin lämmön jakeluun. Matematiikan puolestaan kärsivät edelleen kysymykseen, onko summa useita sinimuotoisia funktioita pelkistetään täsmällinen esitys halkeaman.

200-vuotisen historian

Tämä teoria on kehittynyt yli kaksi vuosisataa, tänään se muodostetaan lopuksi. Avulla spatiaalisen tai temporaalisen toimintoja jaettu sinimuotoisia komponentteja, joilla on taajuus, vaihe ja amplitudi. Tämä konversio on saatu kahdella eri matemaattisia menetelmiä. Ensimmäinen niistä käytetään silloin, kun lähde on jatkuva funktio, ja toinen - tapauksessa, jossa se edustaa useita erillisiä yksittäisiä muutoksia. Jos ilmentyminen on saatu arvoista, jotka on määritelty erillisissä aikaväleissä, se voidaan jakaa useisiin erillisiin sinimuotoinen taajuuksia ilmaisuja - alimmasta ja sitten kaksikertainen, kolminkertainen jne yläpuolella keskeinen. Tämä määrä kutsutaan Fourier-sarjan. Jos alkuperäinen lauseke arvo määritetään kunkin reaaliluku, se voidaan jakaa useiksi sinimuotoinen kaikki mahdolliset taajuudet. Sitä kutsutaan Fourier kiinteä, ja päätös merkitsee muutosta integraalifunktion. Riippumatta menetelmästä, jolla muutos, kunkin taajuuden olisi ilmoitettava kaksi numeroa: amplitudi ja taajuus. Nämä arvot ilmaistaan yhtenä kompleksiluvuksi. Ilmaisu monimutkaisia muuttujia teoria ja Fourier-muunnosta suorittamaan laskelmia sallittu suunnittelun eri virtapiirien analyysi mekaanisten värähtelyjen, tutkimus aallon etenemisnopeus mekanismi ja toinen.

Fourier tänään

Nykyään tutkimus tämän prosessin pohjimmiltaan kuihtuu löytää tehokkaita menetelmiä siirtymistä toiminto muuntaa sen takaisin mieleen. Tämä ratkaisu on nimeltään suora ja käänteinen Fourier-muunnos. Mitä se tarkoittaa? Jotta voidaan määritellä kiinteä ja tehdä suoraa Fourier, voit käyttää matemaattisia menetelmiä, mutta voit analyyttinen. Huolimatta siitä, että kun niitä käytetään käytännössä on joitakin ongelmia, useimmat integraalit on jo havaittu ja kirjattu matemaattisia käsikirjoja. Avulla numeerisia menetelmiä voidaan laskea ilmaisuja, jonka muoto perustuu kokeellisiin tietoihin, funktio jonka integraaleja taulukoissa puuttuu, ja niitä on vaikea kuvitella analyyttisessä muodossa.

Ennen kynnyksellä tietotekniikan laskelmien sellaisista muutoksista ovat olleet erittäin ikävä, ne vaativat manuaalista suorittamista useita laskutoimituksia, jotka riippuvat siitä, kuinka monta pistettä, jotka kuvaavat aaltofunktio. Helpottaa kysymyksen ratkaisemista tänään, on olemassa erityisiä ohjelmia, saa toteuttaa uusia analyyttisiä menetelmiä. Joten, vuonna 1965, Dzheyms Kuli ja Dzhon Tyuki luotu ohjelmisto, joka tuli tunnetuksi nimellä "Fast Fourier". Se säästää aikaa perusteella laskea vähentämällä kertolaskua analyysin käyrän. "Fast Fourier Transform" Menetelmä perustuu jakamalla käyrä tulee huomattava määrä yhdenmukaisia näytearvojen. Näin ollen kertolaskujen vähennetään puoli samalla vähentää pisteiden määrä.

Soveltamalla Fourier

Tämä menetelmää käytetään eri aloilla: In lukuteorian, fysiikan, signaalinkäsittely, kombinatoriikka, todennäköisyys teoria, salaus, tilastoja, oseanografia, optiikka, akustiikka, ja muut geometriat. Rikas mahdollisuuksia sen käyttöä perustuvat useita hyödyllisiä ominaisuuksia, joita kutsutaan "ominaisuudet Fourier-muunnoksen." Tarkastellaan niitä.

1. Muunnosfunktio on lineaarinen operaattori ja vastaava normalisointi on yhtenäinen. Tämä ominaisuus tunnetaan Parseval lauseen tai yleisessä tapauksessa teoreema Plansherelja tai Pontrjagin kaksijakoisuus.

2. Muuntaminen on käännettävä. Lisäksi päinvastaiseen tulokseen on olennaisesti samanlainen muoto kuin suora osoitus.

3. sinimuotoinen perustason ilmauksia ovat omat eriytetty toimintoja. Tämä tarkoittaa sitä, että tällainen esitys muuttuu lineaariset yhtälöryhmät vakiokertoimiset tavanomaisella algebrallinen.

4. Mukaan "konvoluutio" lause, prosessi tekee monimutkainen operaatio elementary kertolasku.

5. Diskreetti Fourier-muunnos voidaan nopeasti suunniteltu tietokoneella käyttäen "nopeaa" -menetelmällä.

Muunnelmia Fourier-muunnoksen

1. Useimmiten termiä käytetään viittaamaan jatkuva muutos, joka tarjoaa kaikki neliöllisesti integroituva ilmaisu summana monimutkainen eksponentiaalinen ilmentymisen tarkat kulmataajuudet ja amplitudit. Tämä laji on useissa eri muodoissa, jotka voivat olla eri vakio kertoimia. Jatkuva menetelmä sisältää muunnostaulukon, joka löytyy matemaattisia käsikirjoista. Yleistynyt tapaus on murto-muuntaminen, jolloin tämä prosessi voidaan nostaa haluttuun pakotettu.

2. Jatkuva menetelmä on yleistys aikaisemman tekniikan Fourier-sarjan määritelty mitään määräaikaisia tehtäviä tai ilmaisuja, joita on rajoitettu alueen ja edustavat niitä sarja siniaaltojen.

3. diskreetti Fourier-muunnos. Tätä menetelmää käytetään laskettaessa tieteellisiin laskenta ja digitaalinen signaalinkäsittely. Suorittamaan tämän tyyppistä laskentaa vaaditaan funktio määrittämiseksi on diskreetti joukko yksittäisiä pisteitä, jaksoittainen tai rajoitetulla alueella sen sijaan jatkuvan Fourier-integraaleja. Signaalin muuntaminen tässä tapauksessa on edustettuina siniaaltojen. Käyttö "nopeasti" -menetelmä mahdollistaa digitaalisten ratkaisujen käytännössä.

4. Ikkuna Fourier-muunnos on yleinen näkymä perinteinen tapa. Toisin kuin tavallisissa ratkaisuja, kun signaali spektri on käytetty, joka on otettu täyden valikoiman olemassaolosta tämä muuttuja on erityisen kiinnostava tässä vain paikallinen taajuus jakelu samalla kun ylläpidetään alkuperäisiä muuttuja (aika).

5. Kaksiulotteinen Fourier. Tätä menetelmää käytetään toimimaan kaksiulotteisia tietoja. Tällaisessa tapauksessa muunnos suoritetaan yhteen suuntaan, ja sitten - toisessa.

johtopäätös

Nykyään Fourier menetelmää lujasti ankkuroitu eri tieteenaloilla. Esimerkiksi vuonna 1962 se avasi muoto DNA kaksoiskierre käyttäen Fourier-analyysin kanssa röntgendiffraktiolla. Viime kiteet keskittyy DNA-kuituja, jolloin tuloksena on kuva, joka on saatu diffraktio, tallennetaan elokuva. Tämä kuva saatiin tietoa amplitudin käyttämällä Fourier-muunnos tämän kiderakenne. Samanvaiheinen data saadaan vertaamalla DNA-diffraktio kortit kortit, jotka on saatu analysoitaessa samanlaisia kemiallisia rakenteita. Tämän seurauksena biologit palautettu kiderakenne - alkuperäinen tehtävä.

Fourier olla suuri rooli tutkimuksessa ulkoavaruuden, fysiikkaa puolijohdemateriaalien ja plasma, mikroaaltouuni akustiikka, merentutkimus, tutka, seismologian ja lääkärintarkastukset.