Kolmen kulmien summa. Lause kolmion kulmien summasta

Kolmiossa on monikulmio, jossa on kolme sivua (kolme kulmaa). Useimmiten sivut on merkitty pienillä kirjaimilla, jotka vastaavat vastakkaisia päisteitä merkitseviä isoja kirjaimia. Tässä artikkelissa tutustutaan näiden geometristen kuvien luonne, joka lause, joka määrittää, mikä kolmiosien kulmien summa on yhtä suuri.

Erilaisia kulmia

Seuraavia polygonityyppejä on kolme:

• Kulma, kaikki reunat terävä;
• Suorakaide, jossa on yksi oikea kulma, kun taas sivut, jotka muodostavat sen, kutsutaan jaloiksi ja sivu, joka on sijoitettu oikeaan kulmaan vastapäätä, kutsutaan hypotenukseksi;
• Obtuse, kun yksi kulma on tylppä ;
• Isosceles, jossa molemmat puolet ovat yhtäläisiä, ja niitä kutsutaan sivuttain, ja kolmas on kolmion pohja;
• Tasapainoinen, jossa on kaikki kolme tasa-arvoista puolta.

ominaisuudet

Määritä kullekin kolmion tyypille ominaiset perusominaisuudet:

• Suuremmalla puolella on aina suurempi kulma ja päinvastoin;
• Vastakkaiset puolet ovat yhtäläisiä kulmia ja päinvastoin;
• Jokaisella kolmiolla on kaksi terävää kulmaa;
• Ulompi kulma on suurempi kuin mikään sisäinen kulma, joka ei ole sen vieressä;
• Kahden kulman summa on aina alle 180 astetta;
• Ulompi kulma on yhtä suuri kuin jäljellä olevien kahden kulman summa, jotka eivät häiritse sitä.

Lause kolmion kulmien summasta

Lause toteaa, että jos lisäät kaikki Euklidian-tasoon sijoitetun geometrisen kuvan kulmat, niin niiden summa on 180 astetta. Yritetään todistaa tämä lause.

Meillä on mielivaltainen kolmio CMN: n huippupisteillä. Vertaksen M kautta piirrämme suoran linjan, joka on yhdensuuntainen suoran KN: n kanssa (tätä suoraa viivaa kutsutaan myös Eukleide-linjaksi). Sen päälle merkitään piste A siten, että pisteet K ja A sijaitsevat suoran rivin MN vastakkaisilla sivuilla. Saamme samanlaisia kulmia kuin AMN ja CNM, jotka, kuten sisäisetkin, sijaitsevat ristissä ja muodostavat sekaannuksen MN sekä suorat linjat KN ja MA, jotka ovat rinnakkaisia. Tästä seuraa, että M: n ja H: n päissä sijaitsevien kolmioiden kulmien summa on yhtä suuri kuin MRA: n kulman koko. Kaikki kolme kulmaa muodostavat summan, joka on yhtä suuri kuin MRA: n ja MKN: n kulmien summa. Koska nämä kulmat ovat sisäisiä yksipuolisia suhteessa samansuuntaisiin linjoihin KN ja MA sekanteilla CM, niiden summa on 180 astetta. Lause on osoitettu.

tulos

Edellä olevasta lauseesta seuraa seuraava seuraus: jokaisella kolmiolla on kaksi akuuttia kulmaa. Todista tämä, oletetaan, että tietyssä geometrisessä kuvassa on vain yksi terävä kulma. Voidaan myös olettaa, että mikään kulma ei ole terävä. Tällöin on oltava vähintään kaksi kulmaa, joiden arvo on vähintään 90 astetta. Mutta sitten kulmien summa on yli 180 astetta. Ja tämä ei voi olla, koska lauseen mukaan kolmion kulmien summa on 180 ° - ei enempää eikä vähempää. Juuri se oli tarpeen todistaa.

Ulkoisten kulmien ominaisuus

Mikä on ulomman kolmion kulmien summa? Vastaus tähän kysymykseen voidaan saada soveltamalla kahta menetelmää. Ensimmäinen on se, että on välttämätöntä löytää kulmien summa, jotka otetaan yksi kulmassa, eli kolme kulmaa. Toinen tarkoittaa, että meidän on löydettävä summa kaikkien kuuden kulman summasta. Ensin selvitämme sen ensimmäisellä vaihtoehdolla. Joten kolmiossa on kuusi ulompaa kulmaa - kaksi kussakin kärjessä. Jokaisella parilla on samat kulmat, koska ne ovat pystysuoria:

∟ 1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Lisäksi tiedetään, että kolmion ulompi kulma on yhtä suuri kuin kahden sisäisen summan summa, jotka eivät häiritse sitä. siksi,

∟ 1 = ∟ A + ∟, ∟ 2 = ∟ A + ∟ IV, ∟ 3 = ∟ IV + ∟.

Tästä on käynyt ilmi, että ulkoisten kulmien summa, joka otetaan jokaiselle huippupisteelle, on yhtä suuri kuin:

∟ 1 + ∟ 2 + ∟3 = ∟ A + ∟ + ∟ A + ∟ IV + ∟ + ∟ = 2 х (∟ + + ∟).

Koska kulmien summa on 180 astetta, voidaan todeta, että ∟ A + ∟ B + ºC = 180 °. Ja tämä tarkoittaa, että ∟ 1 + ∟ 2 + 3 = 2 × 180 ° = 360 °. Jos toista vaihtoehtoa sovelletaan, kuuden kulman summa on vastaavasti kaksi kertaa niin suuri. Toisin sanoen kolmion ulkokulmien summa on:

∟ 1 + ∟ 2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟ 1 + ∟ 2 + ∟ 2) = 720 °.

Suorakulmainen kolmio

Mikä on oikean kolmion kulmien summa, joka on terävä? Vastaus tähän kysymykseen on jälleen lause, joka väittää, että kolmion kolmiot ovat summissa 180 astetta. Ja meidän lausuma (omaisuus) kuulostaa näin: suorakaiteen kolmio, terävät kulmat summa antaa 90 astetta. Meidän on osoitettava sen totuudenmukaisuus. Antakaamme CMN: n kolmiota, jonka θ = 90 °. On osoitettava, että ∟ K + ∟ M = 90 °.

Näin ollen kulmien summan lauseessa K + M + H = 180 °. Meidän kunnossa sanotaan, että ∟ H = 90 °. Joten se käy ilmi, ∟ K + ∟ M + 90 ° = 180 °. Toisin sanoen ∟ K + ∟ M = 180 ° - 90 ° = 90 °. Tätä meidän pitäisi osoittaa.

Oikean kulman kolmion edellä kuvattujen ominaisuuksien lisäksi voit lisätä seuraavaa:

• Jalkojen varassa olevat kulmat ovat teräviä;
• Hypotenuus on kolmikulmainen kuin mikään jaloista;
• Jalkojen summa on suurempi kuin hypotenuus;
• Kolmion katetri, joka sijaitsee 30 asteen kulmaa vastapäätä, on puolet hypotenuulen koosta, eli puolet sen verran.

Tämän geometrisen kuvion toisen ominaisuuden tavoin voidaan erottaa Pythagoraanin lause. Hän väittää, että kolmiossa, jonka kulma on 90 astetta (suorakulmainen), jalojen neliösumma on yhtä suuri kuin hypotenuksen neliö.

Isosceles-kolmion kulmien summa

Aiemmin sanottiin, että isosceles on monikulmio, jossa on kolme vertikaalia, jotka sisältävät kaksi yhtä sivua. Tieteellisen geometrisen kuvion ominaisuus tunnetaan: sen alapuolella olevat kulmat ovat yhtä suuret. Todista tämä.

Ota kolmio CMN, joka on isosceles, CN on sen perusta. Meidän on osoitettava, että ∟ K = H. Joten sanotaan, että MA on kolmiomme CMN: n bisector. MKA-kolmio, jossa tasa-arvoinen ensimmäinen merkki on sama kuin kolmio MNA. Nimittäin, edellyttäen, että CM = NM, MA on yhteinen puoli, ∟1 = ∟2, koska MA on bisector. Käyttämällä tasa-arvoa näistä kahdesta kolmiosta voimme sanoa, että ∟ K = ∟ H. Näin ollen teorema on todistettu.

Mutta olemme kiinnostuneita kolmion (isosceles) kulmien summasta. Koska tässä suhteessa sillä ei ole omia singulariteetteja, aloitamme aikaisemmin tarkastellusta lauseesta. Eli voimme sanoa, että ∟ K + ∟ M + H = 180 °, tai 2 × K + M = 180 ° (koska ∟K = H). Emme saa todistaa tätä ominaisuutta, koska itse kolmion kulmien summa todettiin aikaisemmin.

Näiden tärkeiden lausumien lisäksi ovat myös kolmikulmien kulmien tarkasteluominaisuuksien lisäksi:

• Isosceles kolmio, korkeus, joka laskettiin alustaan, on samanaikaisesti mediaani, sivupinnan kulmassa, joka sijaitsee yhtäläisten sivujen välillä, ja myös sen pohjan symmetrian akseli ;
• Medioiden (bisectrixit, heights), jotka vedetään tällaisen geometrisen kuvan sivuille, ovat yhtä suuret.

Tasavertainen kolmio

Sitä kutsutaan myös oikeaksi, se on kolmio, jossa kaikki puolet ovat samat. Siksi myös kulmat ovat yhtä suuret. Jokainen niistä on 60 astetta. Todista tämä omaisuus.

Oletetaan, että meillä on CMN-kolmio. Tiedämme, että KM = HM = KH. Ja tämä tarkoittaa sitä, että pohjalla sijaitsevien kulmien ominaisuuden mukaan isosceles kolmio, ∟ K = ∟ M = ∟ H. Koska lauseiden mukaan kolmikulmien kulmien summa ∟ K + ∟ M + H = 180 °, sitten 3 × K = 180 ° tai K = 60 °, ∟ M = 60 °, H = 60 °. Siten väite on osoitettu. Kuten yllä olevasta todistuksesta voidaan nähdä lauseiden perusteella, tasasivuisen kolmion kulmat , kuten minkä tahansa muun kolmion kulmien summa, ovat 180 astetta. Tätä teoreettia ei ole enää tarpeen todistaa.

Tasapainotteisen kolmion ominaisuuksia ovat myös:

• Median, bisector, korkeus tällaisessa geometrisessä kuvassa samaan aikaan ja niiden pituus lasketaan seuraavasti: (a х √3): 2;
• Jos kuvaamme ympyrää tietyn monikulmion ympärillä, sen säde on (x √ 3): 3;
• Jos lisätään ympyrä tasasivuiseen kolmioon, sen säde on (а х √3): 6;
• Tämän geometrisen kuvion pinta-ala lasketaan kaavalla: (a2 x √3): 4.

Tiheä kolmio

Tungon kolmion määritelmän mukaan yksi sen kulmista on välillä 90-180 astetta. Mutta koska tämän geometrisen kuvion muut kaksi kulmaa ovat teräviä, voimme päätellä, että ne eivät ylitä 90 astetta. Tällöin kolmion kulmien summan teorema toimii laskettaessa kulmien summaa tylpäs- sä kolmiossa. Osoittautuu, voimme varmasti sanoa, että edellä mainitun lauseen vedoten, että kutistuneen kolmion kulmien summa on 180 astetta. Jälleen tämä lause ei tarvitse uudestaan todistusta.