Yhtälö koneen: miten tehdä? Tyypit kone yhtälöt

Tason tila voidaan määritellä eri tavoin (yksi piste ja vektorin, vektori ja kaksi pistettä, kolme pistettä, jne.). Se on tässä mielessä, kone yhtälö voi olla erilaisia. Lisäksi tietyissä olosuhteissa taso voi olla yhdensuuntainen, kohtisuora, leikkaavat, jne. Tästä ja puhuvat tässä artikkelissa. Opimme tekemään yleinen yhtälö tason eikä vain.

Normaali muoto yhtälön

Oletetaan, R on tila _3, joka on suorakulmainen koordinaatisto XYZ. Määritellään vektori α, joka vapautuu lähtökohtana O. kautta vektorin loppu α piirtää tasoon P, joka on kohtisuorassa sitä.

Tarkoittavat P mielivaltaisessa pisteessä Q = (x, y, z). Säde vektori Q merkin kirjain p. Pituus vektori yhtä suuri kuin α p = IαI ja Ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).

Tämä yksikkö vektori, joka on suunnattu suuntaan, kuten vektori α. α, β ja γ - ovat kulmat, jotka on muodostettu vektori ja positiivinen suuntiin Ʋ tilaa akseleita x, y, z vastaavasti. Projektio pisteestä vektori QεP Ʋ on vakio, joka on yhtä suuri kuin p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Yllä oleva yhtälö on mielekästä, kun p = 0. Vain n taso tässä tapauksessa, kulkisi kohta O (α = 0), joka on peräisin, ja yksikkövektori Ʋ, vapautuu piste O on kohtisuorassa P, vaikka sen suunta, mikä tarkoittaa, että vektori Ʋ määritetty asti merkin. Edellinen yhtälö on koneemme P ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta ottaen huomioon sen koordinaatit on:

P on suurempi kuin tai yhtä suuri kuin 0. Olemme havainneet tasossa yhtälö normaalissa muodossa.

Yleinen yhtälö

Jos yhtälö koordinaatit kerrotaan numero, joka ei ole yhtä kuin nolla, saadaan yhtälö vastaa tätä joka määrittää hyvin tasossa. Sillä on seuraavassa muodossa:

Tässä A, B, C - on useita samanaikaisesti eroaa nollasta. Tämä yhtälö on nimeltään yhtälö yleinen muoto tasossa.

Yhtälöt tasojen. erityistapauksissa

Yhtälö voidaan yleensä modifioida lisäehtoja. Harkita joitakin niistä.

Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä osoittaa, että on yhdensuuntainen ennalta määrätyn akselin Ox. Tässä tapauksessa, muodossa yhtälön muuttuu: Wu + Cz + D = 0.

Vastaavasti muodossa yhtälön ja ne vaihtelevat seuraavat ehdot:

• Ensinnäkin, jos B = 0, yhtälö muutokset Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa, yhdensuuntaisuus akselin Oy.
• Toiseksi, jos C = 0, yhtälö muutetaan ax + by + D = 0, toisin sanoen noin yhdensuuntaisesti ennalta määrätyn akselin Oz.
• Kolmanneksi, jos D = 0, yhtälö näkyy ax + by + Cz = 0, mikä tarkoittaa, että taso leikkaa O (alkuperä).
• Neljänneksi, jos A = B = 0, yhtälö muutokset Cz + D = 0, joka osoittautuu olevan yhdenmukaiset Oxy.
• Viidenneksi, jos B = C = 0, yhtälö Ax + D = 0, mikä tarkoittaa, että on samansuuntainen Oyz.
• Kuudenneksi, jos A = C = 0, yhtälö on muotoa Wu + D = 0, toisin sanoen, raportoi vastaavuuksiin Oxz.

Muoto yhtälön segmenteissä

Tapauksessa, jossa numerot A, B, C, D eroaa nollasta, muodossa yhtälön (0) voi olla seuraava:

x / a + y / b + z / c = 1,

jossa a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Saamme seurauksena yhtälö tason paloina. On huomattava, että tämä taso leikkaa x-akselin pisteessä, jonka koordinaatit ovat (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), ja Oz - (0,0, s).

Ottaen huomioon yhtälö x / a + y / b + z / c = 1, se ei ole vaikeaa visualisoida sijoittaminen tasoon suhteessa ennalta määrättyyn koordinaatistoon.

Koordinaatit normaali vektori

Normaali vektori n tasoon P on koordinaatit, jotka ovat kertoimia yleinen yhtälö tason, toisin sanoen n (A, B, C).

Jotta voidaan määrittää koordinaatit normaalin n, on riittävää tietää yleinen yhtälö annetun tason.

Kun käyttäen yhtälöä segmentteihin, joka on muotoa x / a + y / b + z / c = 1, kuin silloin, kun käytetään yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa koordinaatit tahansa normaali vektori tietyn tason: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

On huomattava, että normaali vektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ongelmia. Yleisimmät ongelmat koostuu todiste kohtisuorassa tai yhdensuuntaiset tasot, tehtävänä on löytää välisiä kulmia lentokoneiden tai kulmat tasojen välinen ja suoria viivoja.

Kirjoita tason mukaisesti yhtälön ja pisteen koordinaatit normaali vektori

Nollasta poikkeava vektori n, kohtisuorassa annettuun tasoon, jota kutsutaan normaali (normaali) ennalta määrättyyn tasoon.

Oletetaan, että koordinaatistossa (suorakulmainen koordinaatisto) Oxyz set:

• Mₒ pisteen koordinaatit (hₒ, uₒ, zₒ);
• nolla vektori n = A * i + B * j + C * k.

Sinun täytyy tehdä yhtälö, joka kulkee läpi Mₒ pisteen kohtisuorassa normaaliin n.

Tilassa valitsemme tahansa pisteeseen ja merkitään M (x, y, z). Anna säde vektori kunkin pisteen M (x, y, z) on r = x * i + y * j + z * k, ja säde vektori pisteen Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Kohta M tulevat kuulumaan tiettyyn tasoon, jos vektori MₒM olla kohtisuorassa vektoriin n. Kirjoitamme kunnon ortogonaalisuuden käyttäen skalaaritulo:

[MₒM, n] = 0.

Koska MₒM = r-rₒ, vektori yhtälö tasossa näyttää tältä:

[R - rₒ, n] = 0.

Tämä yhtälö voi olla myös muun muotoinen. Tätä tarkoitusta varten, ominaisuudet skalaaritulo, ja muunnetaan vasemmalla puolella yhtälöä. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Jos [rₒ, n] merkitään s, saadaan seuraava yhtälö: [r, n] - a = 0 tai [r, n] = s, joka ilmaisee pysyvyyden ulokkeiden normaaliin vektori säde-vektorit annettujen pisteiden, jotka kuuluvat tasossa.

Nyt saat koordinoida rekisteröintilaitteen tasossa meidän vektori yhtälön [r - rₒ, n] = 0. Koska r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, ja n = A * i + B * j + C * k, meillä on:

On käynyt ilmi, että meillä on yhtälö on muodostettu tasoon, joka kulkee pisteen kohtisuorassa normaaliin n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Kirjoita tason mukaisesti yhtälön ja koordinaatit kaksi pistettä vektorin tason suoralla

Määrittelemme kaksi mielivaltaista pisteen M '(x', y 'z') ja M "(x", y" z "), sekä vektori (a', joka on", joka on' '').

Nyt voimme kirjoittaa yhtälön ennalta määrätyn tason, joka kulkee olemassa olevan pisteen M 'ja M", ja jokainen piste koordinaateilla M (x, y, z) yhdensuuntaisesti tietyn vektorin.

Näin M'M vektorit x = {x 'y-y'; zz '} ja M "M = {x" -x', y 'y'; z "z '} tulisi olla samassa tasossa vektori a = (a', joka on "joka on' ''), mikä tarkoittaa, että (M'M M" M, a) = 0.

Joten meidän yhtälö lentokoneessa avaruudessa näyttää tältä:

Tyyppi tasossa yhtälön ylitys kolme pistettä

Sanotaan meillä on kolme seikkaa: (x 'y' z '), (x', y 'z'), (X '' 'Have' '', z '' '), jotka eivät kuulu samaan linjaan. On välttämätöntä kirjoittaa yhtälö, joka kulkee kolme pistettä määritelty. geometria teorian mukaan tällainen kone on olemassa, se on vain yksi ja ainoa. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x 'y', z '), sen yhtälö muoto olisi:

Tässä A, B, ja C ovat nollasta poikkeava samaan aikaan. Lisäksi annetaan taso leikkaa kaksi pistettä (x "y" z ") ja (x '' ', y' '', z '' '). Tässä yhteydessä on suoritettava tällaista ehtoa:

Nyt voimme luoda yhtenäinen järjestelmä on yhtälöiden (lineaarinen) , jossa tuntematonta u, v, w:

Tässä tapauksessa x, y tai z tarkoittaa mielivaltainen piste, joka toteuttaa yhtälön (1). Ottaen huomioon yhtälö (1) ja yhtälöiden järjestelmän (2) ja (3) järjestelmän yhtälöt osoitettu kuviossa yllä, vektori täyttää N (A, B, C), joka on ei-triviaali. Se johtuu siitä, että tekijä järjestelmän on nolla.

Yhtälö (1), että meillä tämä on yhtälö tason. 3 vaiheessa hän todella menee, ja se on helppo tarkistaa. Voit tehdä tämän, laajennamme determinantiksi elementit ensimmäisessä rivissä. Nykyisten kiinteistöjen muuta määräävä seuraa, että koneemme samanaikaisesti leikkaa kolme perin ennalta määrätyn pisteen (x 'y' z '), (x "y" z "), (X' '', y '' ', z' ''). Niinpä päätimme tehtävään edessämme.

Diedrikulmaa tasojen

Diedrikulma on spatiaalinen geometrinen muoto, joka muodostuu kahdesta puoli-tasoihin, jotka ovat peräisin suorasta linjasta. Toisin sanoen, osa tilaa, joka rajoittuu puoli-tasot.

Oletetaan, että meillä on kaksi tasossa seuraavalla kaavalla:

Tiedämme, että vektori N = (A, B, C) ja Nl = (Al: n väliin, H¹, S¹) ennalta määrättyjen tasot ovat kohtisuorassa. Tässä suhteessa, kulma φ vektorien välillä N ja Nl yhtä suuri kulma (dihedral), joka sijaitsee näiden tasojen välissä. Skalaaritulo saadaan seuraavasti:

NN¹ = | N || Nl | cos φ,

juuri siksi että

cos = NN¹ / | N || Nl | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (Al: n väliin) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Riittää katsoa, että 0≤φ≤π.

Itse asiassa kaksi tasoissa, jotka leikkaavat, muodostaa kaksi kulmaa (dihedral): φ ₁ ja φ _2. Niiden summa on yhtä suuri kuin fl (φ ₁ + φ ₂ = π). Kuten niiden kosinit, niiden absoluuttiset arvot ovat yhtä suuret, mutta ne ovat erilaisia merkkejä, eli cos φ ₁ = -cos φ _2. Jos yhtälössä (0) on korvattu A, B ja C -A, -B ja -C vastaavasti, yhtälö, saadaan, määrittää samassa tasossa, vain kulma φ yhtälössä cos φ = NN ¹ / | N || ^N1 | Se korvataan π-φ.

Yhtälö kohtisuoralla tasolla

Kutsutaan kohtisuorassa tasossa, välissä, jossa kulma on 90 astetta. Materiaalin käyttämistä edellä esitetyt, voidaan löytää yhtälön kohtisuorassa muihin. Oletetaan, että meillä on kaksi konetta: ax + by + Cz + D = 0, ja + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cos = 0. Tämä tarkoittaa sitä, että NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Yhtälön paralleelitasossa

Se tarkoitetut kaksi yhdensuuntaista tasoa, jotka eivät sisällä yhtymäkohtia.

Kunto on yhdensuuntaiset (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa), on se, että vektorit N ja Nl, jotka ovat kohtisuorassa niitä, suoralla. Tämä tarkoittaa, että seuraavat ehdot täyttyvät suhteellisuus:

A / Al: n = B / C = H¹ / S¹.

Jos suhteellisesti paisutetaan - A / Al: n = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

tämä osoittaa, että datatason sama. Tämä tarkoittaa, että yhtälö ax + by + Cz + D = 0 ja + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 kuvata yhdessä tasossa.

Etäisyys pisteestä tasoon

Oletetaan, että meillä tasoon P, joka annetaan (0). On tarpeen löytää etäisyys pisteen, jonka koordinaatit ovat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Sinun täytyy tuoda yhtälö tasossa II normaali ulkonäkö tehdä:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Tässä tapauksessa, ρ (x, y, z) on säde vektori meidän Q, joka sijaitsee n p - n on pituus kohtisuorassa, joka julkaistiin nollapisteestä, v - on yksikkövektori, joka on järjestetty suunnassa.

Ero ρ-ρº säde vektori pisteessä Q, = (x, y, z), jonka omistaa P ja säde vektori tietyn pisteen Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) on vektori, absoluuttinen arvo projektion, joka on v on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on tarpeen löytää Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, mutta

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Joten se kääntyy pois,

d = | (ρ ^0, v) s |.

Nyt on selvää, että voidaan laskea etäisyys d ₀ Q-tasossa P, on välttämätöntä käyttää normaaleja näkymä tasossa yhtälön, siirtyminen vasemmalle p, ja viimeinen paikka x, y, z korvike (hₒ, uₒ, zₒ).

Siten, löydämme itseisarvo Tuloksena oleva ekspressioplasmidi, joka tarvitaan d.

Parametrien avulla kielen, saamme ilmeinen:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).

Jos määritetty Q ₀ on toisella puolella tason P alkuperästä, sitten välillä vektorin ρ-ρ ⁰ ja v on tylpän kulman, jolloin:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Siinä tapauksessa, kun Q ₀ yhdessä alkuperä sijaitsee samalla puolella U, terävä kulma on luotu, joka on:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Tulos on, että edellisessä tapauksessa (ρ ^0, v)> p, toisessa (ρ ^0, v)

Ja sen tangenttitasossa yhtälö

Koskevat kone pintaan tangentiaalisuuskohta Mº - tasoon, joka sisältää kaikki mahdolliset sivuaa käyrää, joka kulkee että pinnan pisteen.

Tämän pinnan muoto yhtälön F (x, y, z) = 0 yhtälössä tangenttitason tangenttipisteen Mº (hº, uº, zº) olisi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Jos pinta on asetettu nimenomaisesti z = f (x, y), niin tangenttitason kuvataan yhtälöllä:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Risteyksessä kaksi konetta

In kolmiulotteinen tila on koordinaatisto (suorakulmainen) Oxyz, annettiin kaksi tasojen P 'ja P', jotka menevät päällekkäin ja eivät osu yhteen. Koska kaikki tasossa, joka on suorakulmainen koordinaatisto määritelty yleinen yhtälö, oletamme, että n 'ja n "on määritelty yhtälöillä A'x + V'u S'z + + D' = 0 ja A" + B x '+ y jossa "z + D" = 0. Tässä tapauksessa meillä on normaali n '(A', B 'C') ja tason P 'ja normaali n "(A", B "C") tasosta P'. Kuten taso eivät ole yhdensuuntaiset, ja eivät ole samat, niin nämä vektorit eivät collinear. Käyttämällä matematiikan kieltä, meillä on tämä sairaus voidaan kirjoittaa: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Ja", λ * In "λ * C"), λεR. Anna suora linja, joka on risteyksessä P 'ja P", on merkitty kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P' ∩ P".

ja - linja, joka koostuu useasta pisteestä (yleinen) tasojen P 'ja P". Tämä tarkoittaa sitä, että minkä tahansa kohdan koordinaatteja kuuluvan linjan, on samanaikaisesti täytä yhtälön A'x + V'u S'z + + D '= 0 ja A "x + B' + C y" z + D "= 0. Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit on erityinen liuos, jossa oli seuraavat yhtälöt:

Tuloksena on, että liuos (yleinen) tämän järjestelmän yhtälöt määrittävät koordinaatit kunkin pisteen linjaa, joka toimii leikkauspiste P 'ja P", ja määrittämään linja koordinaatistossa Oxyz (suorakulmainen) tilaa.